正答1
解説
正解は1です。
美容師免許の申請手続と、免許取得後の名簿・免許証の手続を問う問題です。
【選択肢別解説】
1：○ 免許申請書には、精神の機能の障害に関する医師の診断書を添付します（美容師法施行規則第1条）。
これは免許の欠格事由に当たらないことを確認するための書類です。
2：× 氏名を変更したときにしなければならないのは、名簿の訂正の申請です。
名簿の登録事項に変更が生じたときは、30日以内に名簿の訂正を申請します。
免許証の書換え交付は、申請「することができる」任意の手続で、2か月以内という義務もありません。
3：× 名簿の訂正の申請先は、新しい本籍地の都道府県知事ではありません。
美容師名簿は厚生労働省に備えられており、訂正の申請は厚生労働大臣（指定登録機関）に対して行います。
4：× 免許の取消しを行うのは厚生労働大臣です。
そのため免許証の返納先も住所地の都道府県知事ではなく、厚生労働大臣（指定登録機関）です。
取消処分を受けた者は、速やかに返納しなければなりません（美容師法施行規則第7条第2項）。
【ポイント】
美容師の免許・名簿・免許証は国（厚生労働大臣、事務は指定登録機関）の管轄です。
「免許関係は国、美容所関係は都道府県知事」と整理すると、申請先を問う問題で迷いません。